Asymptotické logaritmické frekvenčné charakteristiky

Logaritmické frekvenčné charakteristiky lineárnych systémov


    Logaritmická charakteristika sa líši od charakteristiky v komplexnej rovine tým, že nie je možné súčasne zobrazovať reálnu aj imaginárnu časť a teda nie je možné zobrazovať súčasne modul (amplitúdu) a argument (fázu) frekvenčného prenosu. Je však možné vytvoriť osobitne charakteristiky pre:
  • argument (fázu) $\varphi (\omega)$
  • modul (amplitúdu) $|G(j \omega)|_{dB}$
    Príklad zobrazenia logaritmickej amplitúdovej a fázovej charakteristiky pre zotrvačný člen prvého rádu je znázornený na nasledujúcom obrázku:


Obr. 3.1 Príklad zobrazenia logaritmických charakteristík

    Fázová charakteristika $\varphi (\omega)$ sa určuje rovnakým vzťahom ako pre zobrazenie v komplexnej rovine, to je pomocou funkcie $arctg$ a $\varphi (\omega)$ sa vynáša na os závislej premennej alebo v radiánoch, alebo v stupňoch. Os nezávisle premennej $\omega$ má logaritmickú stupnicu (po dekádach). Pre väčšinu technických systémov (tzv. minimálne fázových – to je s kladnou reálnou časťou zotrvačných a zrýchľujúcich členov) sa však dá fázová charakteristika jednoznačne určiť priamo z logaritmickej amplitúdovej charakteristiky. Platí:
  • ak je AFCH rovnobežná s osou $\omega$, teda má sklon „0“, $\rightarrow \varphi=0°$
  • ak AFCH klesá o 20dB/dek, teda má sklon „-1“, $\rightarrow \varphi=-90°$
  • ak AFCH klesá o 40dB/dek, teda má sklon „-2“, $\rightarrow \varphi=-180°$
  • ak AFCH stúpa o 20dB/dek, teda má sklon „1“, $\rightarrow \varphi=90°$
  • ak AFCH stúpa o 40dB/dek, teda má sklon „2“, $\rightarrow \varphi=180°$
    Preto má fázová charakteristika len doplnkový význam a pokiaľ nechceme niečo pomocou tejto charakteristiky zdôrazniť, tak sa spravidla ani nevynáša.
    Charakteristika $|G(j \omega)_{dB}|$ je logaritmická amplitúdová frekvenčná charakteristika a vo väčšine prípadov ide o postačujúcu charakteristiku.


    Logaritmická amplitúdová frekvenčná charakteristika – Bodeho diagram

    Na os $x$ sa vynášajú hodnoty uhlovej frekvencie $\omega$. Uhlová frekvencia $\omega$ sa udáva v rad/s, no keďže radián je bezrozmernou mierou, v literatúre sa niekedy uvádza len jednotka s-1. Vzťah medzi uhlovou frekvenciou a frekvenciou je možné opísať vzťahom $\omega=2 \pi f$.
    Hodnoty $\omega$ sa vynášajú na logaritmickú stupnicu (v logaritmickej mierke) – ide o stupnicu, kde každá dekáda má rovnakú dĺžku, túto skutočnosť budeme označovať$\omega (log)$. V literatúre je možné stretnúť sa tiež s označením log $\omega $. Logaritmickú mierku nie je možné používať pre záporné hodnoty ani nulu.
    Na os $y$ sa vynášajú hodnoty modulu $|G(j \omega)|$ v dB. Stupnica je v tomto prípade lineárna, logaritmická je len veličina - decibely.
    Pre prevod hodnoty modulu $|G(j \omega)|$ na hodnotu modulu v decibeloch $|G(j \omega)_{dB}|$ platí:
$|G(j \omega)_{dB}| = 20.log|G(j \omega) |= 20.log(A_2/A_1)$.
    Príklady na prevod hodnoty modulu na hodnotu modulu v decibeloch:
  • $A_2/A_1 = 1$ 0 dB
    Prevod platí pre akýkoľvek podiel, ktorý sa rovná jednej. Signál v tomto prípade prejde bez zmeny.
  • $A_2/A_1 = 10$ 1.20 dB = 20 dB
    Napríklad ak je zisk smerovej antény uvedený ako 20 dB, to je pomer 10:1, ktorý vyjadruje, koľkonásobne má vyšší zisk anténa smerová v porovnaní s anténou všesmerovou.
  • $A_2/A_1 = 100$ 2.20 dB = 40 dB
    Napríklad pomer 100:1 môže vyjadrovať pomer užitočného signálu ku signálu šumovému vo veľmi kvalitnom audio zariadení a podobne. Pre zosilňovač je to opis jeho stonásobného zosilnenia.
  • $A_2/A_1 = 0,1$ – 20 dB
    Logaritmus podielu kladných čísel sa rovná rozdielu ich logaritmov:$\log_a(r/s)=\log_ar-\log_as$. Pre logaritmus súčinu dvoch kladných čísel platí, že sa rovná súčtu ich logaritmov:$\log_a(r.s)=\log_ar+\log_as$. Uvedené vzťahy platia za predpokladu, že $a$>0, $a\neq 1$, (v našom prípade sa využíva logaritmus dekadický, $a$=10) a zároveň $r$, $s$ sú kladné reálne čísla.
    Pre náš príklad teda platí, že $\log(1/10)=\log1-\log10=0-1=-1$.
  • A2/A1 = 0,01 – 40 dB


    Logaritmické amplitúdové frekvenčné charakteristiky – Bodeho diagramy základných (typových) dynamických členov:

   1. proporcionálny člen
$G(s)=K$
$G(j\omega)=K$
$|G(j\omega)|=K$
$|G(j\omega)|_{dB}=20.\log K$


Obr. 3.2 Logaritmická amplitúdová frekvenčná charakteristika pre proporcionálny člen

   2. ideálny derivačný člen
$G(s)=s$
$G(j\omega)=j \omega$
$|G(j\omega)|=\omega$
$|G(j\omega)|_{dB}=20.\log \omega$

Tab. 3.1 Zdrojové údaje pre logaritmickú charakteristiku
$\omega$ 0,01 0,1 1 10 100
$|G(j\omega)|_{dB}$ -40 -20 0 20 40


Obr. 3.3 Logaritmická charakteristika pre derivačný člen

    Z uvedeného grafu je vidieť, že pri hodnotách menších ako 1 rad/s ide o zoslabovanie signálu a pri hodnotách väčších ako 1 rad/s ide o zosilňovanie.

   3. integračný člen
$G(s)=\dfrac{1}{s}$
$G(j\omega)=\dfrac{1}{j \omega}$
$|G(j\omega)|=\dfrac{1}{\omega}$
$|G(j\omega)|_{dB}=20.\log 1 - \log \omega =-20 \log \omega$

Tab. 3.2 Zdrojové údaje pre logaritmickú charakteristiku
$\omega$ 0,01 0,1 1 10 100
$|G(j\omega)|_{dB}$ 40 20 0 -20 -40


Obr. 3.4 Logaritmická amplitúdová frekvenčná charakteristika pre integračný člen

    Z uvedeného grafu je vidieť, že pri hodnotách menších ako 1 rad/s ide v systéme s integračným prenosom o zosilňovanie signálu a pri hodnotách väčších ako 1 rad/s ide o zoslabovanie.

   4. derivácia 2. rádu
$G(s)=s^2$
$G(j\omega)=j \omega.j \omega$
$|G(j\omega)|=\omega^2$
$|G(j\omega)|_{dB}=20.\log \omega^2=2.20.\log \omega=40.\log \omega$

Tab. 3.3 Zdrojové údaje pre logaritmickú charakteristiku
$\omega$ 0,01 0,1 1 10 100
$|G(j\omega)|_{dB}$ -80 -40 0 40 80


Obr. 3.5 Logaritmická amplitúdová frekvenčná charakteristika pre derivačný člen 2. rádu

   5. integrácia 2. rádu
$G(s)=\dfrac{1}{s^2}$
$G(j\omega)=\dfrac{1}{j \omega .j \omega}$
$|G(j\omega)|=\dfrac{1}{\omega^2}$
$|G(j\omega)|_{dB}=20.\log \dfrac{1}{\omega^2} =20 \log 1-2.20 \log \omega =-40 \log \omega$

Tab. 3.4 Zdrojové údaje pre logaritmickú charakteristiku
$\omega$ 0,01 0,1 1 10 100
$|G(j\omega)|_{dB}$ 80 40 0 -40 -80


Obr. 3.6 Logaritmická charakteristika pre integračný člen 2. rádu


Obr. 3.7 Jednoduché logaritmické charakteristiky

    Na obrázku sú znázornené logaritmické charakteristiky. Pre zjednodušenie môžeme charakteristiky označiť takto:
  • „0“: 0.20 dB/dekádu
  • „1“: 1.20 dB/dekádu
  • „-1“: -1.20 dB/dekádu
  • „2“: 2.20 dB/dekádu
  • „-2“: -2.20 dB/dekádu
    Je to možné preto, že v lineárnom systéme sa dajú charakteristiky aproximovať asymptotami s násobkami sklonov $n$ . 20 dB/dek.

   6. zotrvačný člen 1. rádu
$G(s)=\dfrac{1}{(Ts+1)}$
$G(j\omega)=\dfrac{1}{(Tj \omega +1)}$
$|G(j\omega)|=\dfrac{1}{\sqrt{1^2+(T \omega)^2}}$
$|G(j\omega)|_{dB}=20.\log 1 -20 \log \sqrt{1+(T \omega)^2} =0- 20. \log \sqrt{1+(T \omega)^2}$
    Keďže pre takýto výraz už nemôžme použiť vety o logaritmoch a nepoznáme hodnotu výrazu pod odmocninou, charakteristiku určíme prostredníctvom asymptotického zobrazenia pre dve frekvenčné oblasti:
  • Ak platí, že 1>>$(T \omega)^2$, potom $|G(j\omega)|_{dB}=0-20.\log \sqrt{1}=0$ a teda logaritmická charakteristika pre túto časť bude typu „0“.
  • Ak platí, že 1<<$(T \omega)^2$, potom $|G(j\omega)|_{dB}=0-20.\log \sqrt{(T \omega)^2}=-20.\log (T \omega)$ a logaritmická charakteristika bude typu „-1“.
    Charakteristika sa bude z typu „0“ meniť na typ „1“ vtedy, keď bude platiť, že $1=(T \omega)^2$, po úprave $\omega=\dfrac{1}{T}$, kde daná $\omega$ rozdeľuje frekvenčnú os na už uvedené dve oblasti a volá sa frekvencia lomu.


Obr. 3.8 Logaritmická amplitúdová frekvenčná charakteristika pre zotrvačný člen 1. rádu

    Skutočná charakteristika sa k tejto charakteristike asymptoticky približuje. Napríklad vypočítame hodnotu výrazu $|G(j\omega)|_{dB}$ pre frekvenciu lomu $\omega=\dfrac{1}{T}$:
$|G(j\omega)|_{dB}=-20.\log \sqrt{1+\left( T.\dfrac {1}{T} \right)^2}=-20. \log \sqrt{2}=-3$ dB.
    Je teda zrejmé, že skutočná hodnota charakteristiky v bode lomu asymptôt na frekvencii $\omega=\dfrac{1}{T}$ je o 3 dB nižšie.

   7. zrýchľujúci člen 1. rádu
$G(s)=\dfrac{(Ts+1)}{1}$
$G(j\omega)=\dfrac{(Tj \omega +1)}{1}$
$|G(j\omega)|=\dfrac{\sqrt{1^2+(T \omega)^2}}{1}$
$|G(j\omega)|_{dB}=20. \log \sqrt{1+(T \omega)^2}$
    Ostatné urobíme analogicky ako pri zotrvačnom členu, teda určíme frekvenciu lomu a rozdelíme frekvenčnú oblasť na dve časti, ktoré teraz určujú asymptoty so sklonmi „0“ a „+1“, v bode lomu je skutočná charakteristika posunutá o 3 dB vyššie.


Obr. 3.9 Logaritmická amplitúdová frekvenčná charakteristika pre zrýchľujúci člen 1. rádu


    Logaritmická amplitúdová charakteristika pre zložité prenosy

    Všeobecný postup

    Príklad určenia logaritmickej amplitúdovej charakteristiky zložitého prenosu:
$G(s)=\dfrac{s.K}{(Ts+1)}$
    Tento prenos môžeme rozpísať na tvar
$G(s)=s.K.\dfrac{1}{(Ts+1)}$.
    Po takejto úprave výrazu sú zrejmé typové dynamické členy. Prenos je zložený z derivácie, zisku a zotrvačnosti 1. rádu a teda
    Tento prenos môžeme rozpísať na tvar
$|G(j\omega)|_{dB}=20. \log \omega + 20.\log K + 20.\log \dfrac{1}{\sqrt{(T\omega)^2+1}}$.
    Keď poznáme charakteristiku týchto členov, potom:
    Tento prenos môžeme rozpísať na tvar
$|G(j\omega)|_{dB}$= derivačný člen + proporcionálny člen + zotrvačný člen.
    Nech $K$=10, potom výsledná logaritmická charakteristika má tvar:


Obr. 3.10 Logaritmická charakteristika zložitého prenosu $G(s)=\dfrac {s.K}{(Ts+1)}$

    Charakteristika pre prvú časť je zložená z charakteristiky derivačného člena so sklonom „1“ a z charakteristiky proporcionálneho člena „0“. Výsledná charakteristika má teda sklon „1“+„0“=„1“.
    Charakteristika je posunutá vyššie kvôli $K$. To sa najlepšie vynesie tak, že charakteristika prechádza bodom $K_{dB}$ nad jednotkovou kruhovou frekvenciou. Od bodu 1/$T$ sa začne prejavovať aj zotrvačnosť („-1“).
    Výsledná charakteristika pre túto časť je teda „1“ + „0“ + „-1“ = „0“.

    Iný zložitý systém a všeobecný postup zákresu LAFCH:

    Prenos zložitých lineárnych systémov možno zapísať napríklad v tvare s vyjadrenými časovými konštantami:
$G(s)=K_0 \dfrac{(1+sT_1)}{s.(1+sT_2)^2(1+2 \xi sT_3+s^2 T_3^2)}$
    Potom presná amplitúdová logaritmická frekvenčná charakteristika je určená výrazom:
$|G(j\omega)|_{dB}=20.\log \dfrac{K_0}{j \omega}+20.\log(1+j \omega T_1)-20.\log (1+j \omega T_2)^2 -20.\log (1+2 \xi j \omega T_3 + (j \omega T_3)^2)$
a fázová charakteristika :
$\varphi (\omega)=- \dfrac{\pi}{2}+ \arctan (\omega T_1)-2. \arctan (\omega T_2) - \arctan \dfrac{1}{1+2 \xi j \omega T_3 +(j \omega T_3)^2}$.
    Pri rýchlom zobrazení LAFCH pomocou asymptôt postupujeme nasledovne:
    Pre jednoduchosť a prehľadnosť označíme časové konštanty $T_1$, $T_2$ a $T_3$ v poradí od najväčších hodnôt po najmenšie: $T_1$>$T_2$>$T_3$. Potom určíme frekvencie lomu zodpovedajúce týmto konštantám:
a fázová charakteristika :
$\omega_1=\dfrac{1}{T_1}$, $\omega_2=\dfrac{1}{T_2}$, $\omega_3=\dfrac{1}{T_3}$,
pre ktoré tak bude platiť, že sú zoradené od najmenších hodnôt frekvencií po najväčšie, teda $\omega_1$<$\omega_2$<$\omega_3$.
    Vieme, že na týchto uhlových frekvenciách nastáva lom asymptôt a teda môžeme zostrojiť asymptotickú amplitúdovú charakteristiku. Začneme od najnižších frekvencií. Náš prenos má jednonásobný pól v počiatku („čisté s“ v menovateli = derivácia signálu) a teda prvá asymptota bude mať sklon -20 dB na dekádu. Jej poloha je určená tým, že pre $\omega$=1 musí prechádzať bodom so súradnicou 20.log$K_0$ alebo (čo dá to isté) pretína os 0 dB pri uhlovej frekvencii $\omega=K_0$.
    Ak nemá prenos pól v počiatku začína amplitúdová charakteristika asymptotou so sklonom 0 dB na dekádu posunutou o $20.\log K_0$, kde $K_0$ je zosilnenie systému. V prípade nuly prenosu („čisté s“ v čitateli – integrácia), má prvá asymptota sklon „+1“. Pri väčších mocninách „$n$“ nulových núl či pólov prenosu sú sklony prvej asymtoty +/- „$n$“.
    Prvá asymptota prebieha od najnižších uhlových frekvencií $\omega$ až do uhlovej frekvencie $\omega_1=\dfrac{1}{T_1}$ odpovedajúcej prvému členu $(1+\omega_1 T_1)$ v čitateli.
    Pri uhlovej frekvencii $\omega=\omega_1$ nastáva lom asymptôt. Nová asymptota má sklon o +20 dB/dekádu väčší ako predchádzajúca asymptota, teda výsledný sklon v našom príklade je 0 dB/dekádu.
    Vo všeobecnosti nová asymptota má sklon väčší alebo menší vždy o $\pm$20 dB/dekádu podľa toho, či je príslušný člen $(1+j \omega T)$ v čitateli alebo v menovateli.
    Ak člen obsahuje dvojnásobný koreň, mení sa sklon asymptoty pri $\omega= \dfrac{1}{T_0} \pm$40 dB/dekádu. Ak prenos obsahuje kvadratický člen $(1+2\xi j \omega T_0+(j \omega T_0)^2)$, mení sa sklon asymptoty pri uhlovej frekvencii lomu $\omega= \dfrac{1}{T_0} \pm$40 dB/dekádu.
    Výsledný priebeh logaritmickej frekvenčnej charakteristiky získame vkreslením plynulej krivky do asymptôt.


Obr. 3.11 Amplitúdová logaritmická frekvenčná charakteristika prenosu $G(s)=K_0 \dfrac{(1+sT_1)}{s.(1+sT_2)^2(1+2 \xi sT_3+s^2 T_3^2)}$

    Zápis prenosu z danej logaritmickej charakteristiky

    Úlohou však môže byť aj zápis prenosu z danej (nameranej) logaritmickej charakteristiky. Túto aproximujeme polpriamkami so sklonom $n$.20 dB/dekádu a potom analogickým, ale opačným postupom ako pri zákrese čítame charakteristiku a zapisujeme jej prenosovú funkciu:


Obr. 3.13 Logaritmická amplitúdová frekvenčná charakteristika získaná aproximáciou nameranej charakteristiky

    Z grafu vidíme, že do bodu $1/T_1$ je charakteristika typu „0“, ide teda o proporcionálny člen. Od bodu $1/T_1$ sa začne prejavovať zotrvačný člen, podobne od bodu $1/T_2$ sa začne prejavovať ďalší zotrvačný člen a teda môžeme zapísať odhadovaný prenos nášho systému:
$G(s)=\dfrac{K}{(T_1s+1)(T_2s+1)}$.

    Odkazy a knihy:

BALÁŤE, Jaroslav: Automatické řízení. BEN – Technická literatura, Praha 2003. 664s. ISBN 80-7300-020-2.
http://web.tuke.sk/sjf-kaar/stranky/Predmetove_str/TK/material/Teor.prik...
http://media.erikgyepes.com/Documents/PRI%20-%20teoria/4.dynamicke_vlast...
http://www.spslevice.sk/SOC/SOC%20-%20PRI/17-Frekvencne_charakteristiky.htm
http://www.kar.elf.stuba.sk/tar/tar1/prednasky/TAR1_6_prednaska_Charakte...

  • prečítané 15146x