Stabilita, kvalita a presnosť regulácie

    Nyquistove kritérium stability rozhoduje o stabilite obvodu na základe priebehu frekvenčnej charakteristiky otvoreného (rozpojeného) regulačného obvodu. Je špeciálne odvodené pre systémy so spätnou väzbou. Odvodil ho americký fyzik Nyquist v roku 1932, keď študoval vlastnosti elektronických zosilňovačov so spätnou väzbou. Jeho výhodou je, že nemusíme poznať diferenciálnu rovnicu spätnoväzbového systému, ale môžeme vychádzať z experimentálne zistenej frekvenčnej charakteristiky. Ďalšou výhodou je, že pomocou tohto kritéria môžeme ľahko posúdiť, ako sme ďaleko od hranice stability a aký vplyv na stabilitu majú zmeny parametrov spätnoväzbového systému. Pretože regulačný obvod predstavuje spätnoväzbový obvod, je toto kritérium vhodné na vyšetrovanie stability regulačných obvodov.

    O stabilite uzatvoreného systému rozhoduje priebeh frekvenčnej charakteristiky otvoreného systému.

    Prenos daného otvoreného systému potom môžeme vyjadriť vzťahom:

    Charakteristickú rovnicu systému zapíšeme v tvare

    Pre determinant pritom platí, že:

    Po dosadení determinantu do charakteristickej rovnice systému platí, že:

    Keď takto zapísanú charakteristickú rovnicu prevedieme do frekvenčnej oblasti, dostaneme vzťah:

po úprave:

    Z toho vyplýva, že obvod je stabilný, ak platí, že:

    Kritický bod [-1, 0] musí teda ležať vľavo od frekvenčnej charakteristiky rozpojeného obvodu $G_O(j \omega)$ pre frekvencie $\omega$ od 0 do ∞.

    Ak frekvenčná charakteristika prechádza bodom -1, obvod je na hranici stability.

    Zavedením korekcie (doplnením štruktúry obvodu o korekčný člen) je možné dosiahnuť zmenu nestabilného systému na systém stabilný. Príklad účinku korekcie je vidieť na nasledujúcom obrázku.

    Systémy z hľadiska stability môžeme rozdeliť na:

    Číselné charakteristiky stability

    Miera stability (v českej literatúre nazývaná tiež bezpečnosť v stabilite) je číselná charakteristika stability, ktorú rozdeľujeme na:

    Pre prenos otvoreného systému s amplitúdou $|G_O(j \omega_x)|$ platí, že amplitúdová miera stability je prevrátená hodnota amplitúdy frekvenčnej charakteristiky pre frekvenciu, pri ktorej charakteristika pretína zápornú reálu os (je splnená fázová podmienka nestability a skúmame, ako je na tom systém s amplitúdovou podmienkou ) a počíta sa vzťahom:

    Optimálne je, ak hodnota miery stability je v rozmedzí 2$\doteq$10. Pri grafickom znázornení to znamená, že charakteristika pretína os v hodnotách -1/2$\doteq$-1/10.

    Ak je splnená amplitúdová podmienka vzniku oscilácií, je možné mieru stability systému vyjadriť aj prostredníctvom fázovej miery stability a to:

    Aby bol systém stabilný a použiteľný v praxi, musí platiť, že $\gamma \geq 60°$, pričom $\gamma$ je fázová miera stability (bezpečnosť v stabilite). Je to uhol, ktorý ešte zostáva do dosiahnutia fázy -180°, ktorá je pre stabilitu kritická, keď už je splnená amplitúdová podmienka vzniku autooscilácií (nestability) v skúmanom systéme. (Amplitúdová podmienka vzniku kmitov v uzatvorenom systéme je daná jednotkovým modulom frekvenčného prenosu otvoreného systému, teda schopnosťou prenášať signál zo vstupu na výstup s pomerom 1:1).

    Pre amplitúdovú frekvenčnú charakteristiku zistíme kritickú amplitúdu, teda amplitúdu, keď frekvenčná charakteristika v komplexnej rovine prechádza jednotkovou kružnicou $|G_O(j \omega)|=1$, v logaritmickej frekvenčnej charakteristike to je: $20.\log |G_O(j \omega)|=0 dB$. Jednotková kružnica v komplexnej rovine sa teda zobrazí do priamky s hodnotou 0 dB, čo je os $x$.

    Kritický bod na amplitúdovej charakteristike je určený frekvenciou $\omega$, pri ktorej fázová frekvenčná charakteristika nadobúda -180°. Ak je pri tejto $\omega$ amplitúda prenosu v dB záporná, je obvod stabilný (pri $\varphi$=-180° prechádza charakteristika v komplexnej rovine vpravo od bodu [-1, 0$j$] ).

    Uzavretý regulačný obvod je stabilný, ak hodnota fázy $|\varphi_0|$ prenosu otvorenej slučky je pri uhlovej frekvencii (kedy amplitúdovo frekvenčná charakteristika otvorenej slučky pretína úroveň 0 dB) z intervalu (-180°;0°).

    Systém je na hranici stability, keď pri $G_0$=0 dB je $\varphi=-180°$.

    Podľa pravidiel pre AFCH a FFCH fázovo minimálnych systémov stačí poznať iba logaritmickú amplitúdovo frekvenčnú charakteristiku a vieme určiť stabilitu obvodu, pretože:

    Z toho vyplýva, že ak AFCH pretína úroveň 0 dB so sklonom < 40 dB/dek, to teda je so sklonom "-1", je uzavretý regulačný obvod určite stabilný, lebo fáza je menšia ako 180° a je teda splnená podmienka fázovej bezpečnosti.

    Analyzovaný problém ukážme na príklade uzatvoreného systému, ktorý má v rozpojenom stave prenos $G_o(s)$ (nezabudnime, že riešime stabilitu na základe Nyquistovho kritéria):

    Nech je daný uzatvorený systém opísaný prenosom v otvorenom stave:

    Potom pre fázu platí, že:

    Riešme fázu pre frekvenciu lomu, ak je táto súčasne aj frekvenciou rezu (viď obr. 4.8), čo technicky vieme realizovať vhodnou hodnotou zisku systému. Vieme že frekvencia lomu

a pre fázu potom platí, že:

a systém je ešte stabilný. Fázová miera stability $\gamma$ má hodnotu $\gamma =180°-135°=45°$ (do kritickej fázy zostáva ešte 45°).

Kvalita a presnosť systémov (regulácie)

---

• kvality prechodového procesu,
• presnosti v ustálenom stave.

• doba regulácie

• preregulovanie (u periodických prechodových procesov)

• aperiodickosť prechodového procesu

$Q_1=\int_0^\infty e_p(t)dt$

$Q_2=\int_0^\infty e_p^2(t)dt$

• aby sa pri zmene požadovanej veličiny $w(t)$ regulovaná veličina prispôsobila hodnote požadovanej veličiny, teda aby $y(\infty)=w(\infty)$, a teda aby ustálená regulačná odchýlka vyvolaná riadením $e_w(\infty)=0$;
• aby zmena regulovanej veličiny $y(t)$ spôsobená poruchou $v(t)$ bola úplne vykompenzovaná, teda aby $y(\infty)=w(\infty)$ aj v prípade pôsobenia poruchovej veličiny, a teda aby ustálená regulačná odchýlka vyvolaná poruchou $e_v(\infty)=0$.

$G_{ew}(s)=\dfrac{E_w(s)}{W(s)}$ $G_{ev}(s)=\dfrac{E_v(s)}{V(s)}$

$E_w(s)=G_{ew}(s).W(s)$ $E_v(s)=G_{ev}(s).V(s)$

$E(s)=G_{ew}(s).W(s)+G_{ev}(s).V(s)$

$\lim_{t\rightarrow \infty} f(t)=\lim_{s \rightarrow 0} s.F(s)$ $e_{ust}=\lim_{s \rightarrow 0} s.E(s)$

• $e_{ust}=0$ - požiadavky kladené na systém sú splnené, systém sa ustáli na požadovanej hodnote;
• $e_{ust}=konšt.$ - dochádza k určitej (konštantnej) odchýlke od požadovanej hodnoty;
• $e_{ust}=\infty$ - systém je síce stabilný (zaniká v ňom prechodná zložka odchýlky), ale ustálená zložka sama o sebe neustále narastá.

$G_{ew}=\dfrac{1}{1+\dfrac{K}{Ts+1}}=\dfrac{Ts+1}{Ts+1+K}$

$e_{ust}=\lim_{s \rightarrow 0} s.\dfrac{Ts+1}{Ts+1+K} \dfrac{1}{s}$