Viacrozmerové systémy AR
Viacrozmerové systémy automatického riadenia
V tejto časti sa budeme zaoberať viacrozmerovými systémami automatického riadenia, niekedy v literatúre nazývanými tiež viacparametrové systémy. Stále však budeme uvažovať o lineárnych a spojitých systémoch.
Či je alebo nie je systém viacrozmerový, určujú vlastnosti riadeného objektu.
Obr. 6.1 Príklad schémy viacrozmerového systému
Príkladom systému uvedeného na obrázku môže byť napríklad spaľovací motor, kde vstupnými veličinami je množstvo paliva a množstvo vzduchu.
Obr. 6.2 Príklad schémy viacrozmerového systému
Na obrázku je znázornený dvojrozmerový systém. Príkladom takého systému môže byť regulácia jasu a kontrastu (nastavovaním jasu meníme aj kontrast a taktiež nastavovaním kontrastu sa mení aj jas). Iným príkladom môže byť zmena sklonu a kurzu pri zmene polohy kormidiel lietadla.
Stavový opis viacrozmerového systému
Pre stavový opis viacrozmerového systému platia tie isté vzťahy ako pri opise jednorozmerového systému, teda maticové rovnice:
| $ \mathbf{\dot{x}}= \mathbf{A}.\mathbf{x} + \mathbf{B}.\mathbf{u} $ $ \mathbf{y}= \mathbf{C}.\mathbf{x} + \mathbf{D}.\mathbf{u} $ |
Prvá z uvedených rovníc je stavová rovnica a druhá rovnica výstupu, pričom $\mathbf{x}$ je vektorom stavových veličín systému, $\mathbf{u}$ je vstupný vektor akčných veličín, $\mathbf{y}$ výstupný vektor, $\mathbf{A}$ je matica vlastnej dynamiky, $\mathbf{B}$ budiaca matica systému, $\mathbf{C}$ výstupná matica a $\mathbf{D}$ matica nezotrvačných (bezinerčných) väzieb medzi vstupom a výstupom.
Po rozpísaní stavovej rovnice napríklad systému s trojzložkovým vektorom stavu $\mathbf{x}$:
| $ \left[ \matrix{\dot{x_1}\\ \dot{x_2}\\ \dot{x_3}} \right] = \left[ \matrix{ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots} \right] . \left[ \matrix{x_1\\ x_2\\ x_3} \right] + \left[ \matrix{ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots} \right] . \left[ \matrix{u_1\\ u_2\\ u_3} \right] $ |
Keď je systém viacrozmerový, objavia sa koeficienty budenia v budiacej matici systému vo viacerých stĺpcoch než v jednom a vstupný vektor nemá len jednu zložku ako to bolo u jednorozmerového systému. Jednorozmerový systém má len jednu zložku vektora a táto zložka môže byť na ktoromkoľvek mieste a ostatné prvky matice u sú nulové.
Pre porovnanie príklady vstupného vektora jednorozmerového systému:
| $ \left[ \matrix{u \\ 0\\ 0} \right] $; $ \left[ \matrix{0 \\ u\\ 0} \right] $; $ \left[ \matrix{0 \\ 0\\ u} \right] $ |
Podobne výstupný vektor jednorozmerového systému $\mathbf{y}$ má len jednu nenulovú zložku a matica $\mathbf{C}$ je riadková, u viacrozmerového má výstupný vektor viac zložiek a matica $\mathbf{C}$ už je štvorcová:
| $ \left[ \matrix{y_1\\ y_2\\ y_3} \right] = \left[ \matrix{ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots} \right] . \left[ \matrix{x_1\\ x_2\\ x_3} \right] + \left[ \matrix{ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots} \right] . \left[ \matrix{u_1\\ u_2\\ u_3} \right] $. |
Opis systému pomocou prenosov
Prenosová funkcia sa u viacrozmerových systémov stane maticovou funkciou, ktorej prvky sú parciálne prenosy:
| $\mathbf{\overline{G}} = \left[ \matrix{ g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22}} \right]$. |
Indexovanie v matici je rovnaké ako u klasických matíc, prvý index je index riadku a druhý index je indexom stĺpca.
Pri opise systémov pomocou prenosových funkcií je význam indexov nasledovný: prvý index označuje poradové číslo na výstupe, druhý index poradové číslo na vstupe.
Obr. 6.3 Indexovanie prvkov prenosovej matice
Autonómne riadenie
Niekedy je na systém kladená požiadavka autonómneho riadenia. Aj keď je systém viacrozmerový, urobíme k nemu taký riadiaci systém, kde vstupom bude $\mathbf{e}$ a výstupom bude $\mathbf{u}$. Tento systém bude potom pracovať úmyselne ako viacrozmerový a jeho obsahom budú krížne väzby.
Pre autonómny systém potom platí, že na veličinu $e_1$ reaguje len $y_1$, na veličinu $e_2$ len $y_2$ atď.:
Obr. 6.4 Schéma systému s autonómnym riadením
Autonómne riadenie je možné, keď výsledkom súčinu prenosových matíc $\mathbf{\overline{G}_{RO}}.\mathbf{\overline{G}_{RS}}$ je diagonálna matica riadenia.
Obr. 6.5 Rozloženie viacrozmerového systému na kanály
Z obrázku je vidieť, že sme viacrozmerový systém rozložili na jednotlivé autonómne kanály. Systém tak môžeme riešiť po samostatných kanáloch tak ako sme riešili systém jednorozmerový.
Pri rozložení potom základné väzby v riadiacom systéme tvoria PI, PD alebo PID regulátory a krížne väzby zaručujú diagonalitu výslednej matice riadenia $\mathbf{\overline{G}_{RO}}.\mathbf{\overline{G}_{RS}}$, teda uvedenú autonómnosť, aj keď riadený objekt je objektívne viacrozmerový – Obr. 6.4 .
- prečítané 3593x