Dynamické vlastnosti snímačov
Snímače, podobne ako elektrické obvody, môžu byť zotrvačné (ak obsahujú akumulačný prvok) alebo nezotrvačné. Zotrvačnosť určuje ich dynamické správanie. Dynamické vlastnosti snímačov sa prejavujú pri snímaní, kedy sa hodnoty vstupných veličín menia s časom. V takomto prípade výstupný signál snímača nemusí zodpovedať hodnote vstupnej veličiny z dôvodu nevhodných dynamických vlastností. Rozdiel medzi výstupným signálom snímača a meraným signálom spôsobený dynamickými vlastnosťami sa nazýva dynamická chyba snímača.
Dynamické charakteristiky snímačov môžeme rozdeliť do dvoch skupín: úplné dynamické charakteristiky - poskytujú úplný opis prijatého matematického modelu dynamických vlastností snímača a čiastkové dynamické charakteristiky - sú vlastne funkcionály alebo parametre úplných dynamických charakteristík.Úplné dynamické charakteristiky snímačov sa používajú najmä na stanovenie dynamických chýb (dynamických zložiek chýb), simuláciu dynamických chýb, výpočet dynamických metrologických charakteristík, stanovenie vstupného signálu z časového priebehu výstupného signálu, porovnanie a výber snímačov, výpočet korekcií a vylúčenie dynamickej chyby, návrh korekčných dynamických členov umožňujúcich zlepšenie dynamických vlastností. Ako úplné dynamické charakteristiky najčastejšie používame: lineárne diferenciálne rovnice, obrazový prenos, frekvenčný prenos, amplitúdovú a fázovú frekvenčnú charakteristiku, prechodovú a váhovú funkciu.
Lineárne diferenciálne rovnice
Dynamické charakteristiky môžeme určiť analýzou odozvy snímača na skupinu časovo premenných vstupov:
- impulzný priebeh,
- skokový priebeh,
- lineárny priebeh,
- sínusový priebeh,
- biely šum.
Parametre dynamických charakteritík definujeme v oblastiach:
- časovej,
- frekvenčnej,
- komplexnej.
Základnú formu matematického opisu snímača tvoria lineárne diferenciálne rovnice. Píšeme ich tak, že na ľavej strane sa nachádzajú derivácie výstupných veličín a na pravej strane derivácie vstupných veličín. Podľa najvyššieho rádu derivácie výstupnej veličiny hovoríme o snímačoch nultého rádu, prvého rádu, druhého rádu atď.
Diferenciálnu rovnicu nemožno stanoviť experimentálne priamo. Získava sa výpočtami z ostatných priamo merateľných úplných dynamických charakteristík, analyticky spolu s experimentálnym stanovením hodnôt parametrov, prípadne použitím čiastkových dynamických charakteristík. Obyčajne predpokladáme, že dynamické odozvy snímačov sú lineárne a môžu byť modelované lineárnou diferenciálnou rovnicou s konštantnými koeficientami:
| $a_{k}\dfrac{d^{k}y(t)}{dt^{k}}+a_{k-1}\dfrac{d^{k-1}y(t)}{dt^{k-1}}+\;\;\; \ldots \;\;\; +a_{2}\dfrac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+a_{1}\dfrac{dy(t)}{dt}+a_{0}y(t)=x(t)$ | (1) |
Analýza dynamických modelov snímačov je typicky realizovaná pomocou Laplaceovej transformácie, ktorá konvertuje diferenciálnu rovnicu na polynomický výraz. Uvažujme o Laplaceovej doméne ako o rozšírení Fourierovej transformácie. Fourierova analýza je obmedzená na sinusové signály:
| $x(t)=sin(ωt)=Im[e^{-jωt}]$ | (2) |
Laplaceova analýza umožňuje popisovať tiež exponenciálne správanie:
| $x(t)=e^{-σt} sin(ωt)=Im[e^{-(σ + jω)t}]$ | (3) |
V praxi sú matematické modely dynamického správania sa snímačov obmedzené na nultý, prvý a druhý rád. Modely vyšších rádov sú používané zriedkavo.
Pre prenosovú funkciu snímača v Laplaceovej transformácii platí:
| $F\left(s\right)=\dfrac{Y\left(s\right)}{X\left(s\right)}=\dfrac{b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_{0}}$ | (4) |
Rovnicu (4) je možné ďalej upraviť na tvar:
| $F\left(s\right)=K\dfrac{\left(1+sT_{a}\right)\left(1+sT_{b}\right)...\left(1+sT_{m}\right)}{\left(1+sT_{1}\right)\left(1+sT_{2}\right)...\left(1+sT_{n}\right)}$ | (5) |
Ak dosadíme do uvedených rovníc premennú $s=j\omega$, získame frekvenčný prenos, vyjadrujúci ustálenú zložku prenosu, tj. partikulárny integrál lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami. Platí:
| $\dot{F}\left(j\omega\right)=P\left(\omega\right)+jQ\left(\omega\right)=A\left(\omega\right)e^{j\varphi\left(\omega\right)}$ | (6) |
kde:
| $A\left(\omega\right)=\mid\dot{F}\left(j\omega\right)\mid=mod\left[\dot{F}\left(j\omega\right)\right]=\sqrt{P^{2}\left(\omega\right)+Q^{2}\left(\omega\right)}$ | ||
| $\varphi\left(\omega\right)=arg\left[\dot{F}\left(j\omega\right)\right]=arctg\dfrac{Q\left(\omega\right)}{P\left(\omega\right)}$ | (7) |
Dynamická chyba merania $\Delta_{D}(t)$ resp. $δ_{D}(t)$ (tj. absolútna respektíve relatívna dynamická chyba) je daná odchýlkou medzi chovaním reálneho a ideálneho snímača. V Laplaceovej transformácii platí pre absolútnu a relatívnu hodnotu chyby:
| $\Delta_{D}\left(s\right)=F\left(s\right)X\left(s\right)-KX\left(s\right)=X\left(s\right)\left[F\left(s\right)-K\right]$ | (8) |
| $\delta_{D}\left(s\right)=\dfrac{\,\Delta_{D}\left(s\right)}{KX\left(s\right)}=\dfrac{F\left(s\right)}{K}-1$ | (9) |
kde $K$ je konštanta prenosovej funkcie.
Spätnou Laplaceovou transformáciou získame časovú funkciu dynamickej chyby $\Delta_D(t)$
| $\Delta_{D}\left(t\right)=L^{-1}\left\{ \Delta_{D}\left(s\right)\right\} $ | (10) |
Ak je časový priebeh vstupnej veličiny harmonický, pre výpočet dynamickej chyby platí:
| $\Delta_{D}\left(j\omega\right)=X\left(j\omega\right)\left[F\left(j\omega\right)-K\right]$ | (11) |
Obr. Dynamická chyba harmonického signálu
Dynamickú chybu $\Delta_D(j\omega)$ pre jedinú harmonickú zložku vstupnej veličiny je možné zázorniť pomocou fázorového diagramu. Pre absolútnu dynamickú chybu môžeme na základe kosinusovej vety napísať:
| $\mid\Delta_{D}\left(j\omega\right)\mid^{2}=\mid K\,\dot{X}\left(j\omega\right)\mid^{2}+\mid\dot{F}\left(j\omega\right)\,\dot{X}\left(j\omega\right)\mid^{2}-2\mid\dot{F}\left(j\omega\right)\,\dot{X}\left(j\omega\right)\mid\mid K\,\dot{X}\left(j\omega\right)\mid cos\varphi$ | (12) |
Pre fázový uhol chyby platí:
| $tg\left(\varphi_{D}\left(\omega\right)\right)=\dfrac{\mid\dot{F}\left(j\omega\right)\dot{X}\left(j\omega\right)\mid sin\varphi}{\mid K\,\dot{X}\left(j\omega\right)\mid-\mid\dot{F}\left(j\omega\right)\dot{X}\left(j\omega\right)\mid cos\varphi}$ | (13) |
Dynamická chyba $\Delta_D(j\omega)$ podľa vzťahu () má teda harmonický priebeh, pričom jej amplitúda aj fáza závisia na frekvencii. Relatívna hodnota dynamickej chyby je potom daná vzťahom:
| $tg\left(\varphi_{D}\left(j\omega\right)\right)=\dfrac{\dot{F}\left(j\omega\right)}{K}-1$ | (14) |
Pri skokovej zmene vstupnej veličiny je dynamická chyba vhodnou veličinou pre určenie dynamických vlastností snímača. Skoková zmena sa však prakticky realizovať nedá, preto za skokovú zmenu považujeme prechodný jav, ktorý prebehne v čase $t\;<\;<\;t_{50}$. Čas $t_{50}$ udáva dobu, za ktorú hodnota výstupného signálu dosiahne 50% maximálnej ustálenej hodnoty $y_{max}$. Na nasledujúcom obr. sú zobrazené dynamické chyby pre prenos prvého i druhého rádu.
| $F\left(s\right)=\dfrac{K}{1+sT},\;\;\;\quad\quad\quad F\left(s\right)=\dfrac{K}{1+s^{2}T^{2}+2c\, sT}$ | (15) |
 |
Obr. Prechodové charakteristiky a dynamické chyby
Pri teplotných technických meraniach sa veľmi často vstupné veličiny menia konštantnou rýchlosťou. Pre prenosovú funkciu snímača platí:
| $F\left(s\right)=K\dfrac{1}{\left(1+sT_{1}\right)\left(1+sT_{2}\right)...\left(1+sT_{n}\right)}$ | (16) |
Podľa vzťahu pre dynamickú chybu (8) môžeme odvodiť vzťah:
| $\Delta_{D}\left(s\right)=\dfrac{w}{s^{2}}\left[F\left(s\right)-K\right]$ | (17) |
kde $w$ je rýchlosť zmeny vstupnej veličiny.
 |
Obr. Dynamická chyba prenosu snímača 1. rádu pri zmene vstupnej veličiny konečnou rýchlosťou
Aplikáciou vety o limite dostaneme:
| $\Delta_{D}\left(t\right)_{max}=\underset{t\rightarrow\infty}{lim}\Delta_{D}\left(t\right)=\underset{s\rightarrow0}{lim}s\Delta\left(s\right)=-w\, K\left(T_{1}+T_{2}+...+T_{n}\right)$ | (18) |
Ak dochádza pri prenose signálu u snímača vyššieho rádu k dopravnému oneskoreniu $T_D$ , je možné pre dynamickú chybu použiť vzťah:
| $\Delta_{D}\left(t\right)_{max}=-w\, K\left(T_{D}+T_{1}+T_{2}+...+T_{n}\right)$ | (19) |
Pri číslicovom spracovaní signálov sa dynamická chyba zväčší. Prírastok dynamickej chyby je spôsobený vzorkovaním analógovej veličiny v diskrétnych časových okamžikoch. Pre vzorkovaciu periódu $T_V$, o ktorej predpokladáme že je vždy väčšia ako doba prevodu analógovej veličiny na číslicový tvar kódového slova, platí podmienka:
| $T_{V}\leq\dfrac{\frac{x_{max}}{2^{n+1}}}{\mid\left(\frac{dx}{dt}\right)_{max}\mid}$ | (20) |
kde $(dx/dt)_{max}$je maximálna prípustná rýchlosť zmeny vstupnej veličiny, aby prídavná dynamická chyba neprekročila hodnotu kvantovacej chyby.
Dynamické charakteristiky snímačov v časovej oblasti
Prechodová charakteristika
Prechodová charakteristika je odozva (časový priebeh výstupného signálu) na skokovú zmenu vstupného signálu. Získava sa experimentálne náhlou zmenou hodnoty vstupného signálu vhodnej veľkosti. Ak je skok iný ako 1, treba jeho veľkosť udať, alebo charakteristiku prepočítať na jednotkový skok. Niekedy sa prechodovou charakteristikou rozumie už len prepočítaná odozva na jednotkový skok.
Váhová funkcia
Váhová funkcia je odozva (časový priebeh výstupného signálu) na Diracov impulz. Experimentálne ju možno zistiť len približne náhradou Diracovho impulzu impulzom dostatočne úzkym a dostatočnej intenzity. Váhová funkcia je deriváciou prechodovej funkcie a opačne, prechodová funkcia je integrálom váhovej funkcie. Tento vzťah sa používa na ich vzájomný prevod.
Doba odozvy
Doba odozvy je časový interval od okamihu náhlej zmeny vstupného signálu po okamih, keď výstupný signál nadobudne špecifikovanú ustálenú hodnotu. Všeobecne čas, za ktorý sa dosiahne určitá hodnota rozdielu na výstupe, závisí aj od veľkosti náhlej zmeny na vstupe.
Dopravné oneskorenie
Dopravné oneskorenie je čas, ktorý uplynie od náhlej zmeny vstupného signálu po okamih, keď sa táto zmena začne prejavovať na výstupnom signále. Dobu odozvy a dopravné oneskorenie možno stanoviť tiež z prechodovej charakteristiky (jsú to jej parametre).
Časová konštanta
Časová konštanta je parameter s rozmerom času, ktorý sa vyskytuje v koeficientoch na ľavej strane diferenciálnej rovnice snímača. V koeficientoch pri deriváciách druhého a vyšších rádov vystupujú časové konštanty, v zodpovedajúcich súčinoch alebo mocninách.
Útlm
Útlm λ je pomer dvoch po sebe nasledujúcich amplitúd kmitov výstupnej veličiny (s časovým odstupom Tk) pri nemeniacich sa hodnotách vstupných veličín. Prirodzený logaritmus útlmu ln λ sa nazýva logaritmický dekrement útlmu δ.
| $\delta=ln(\lambda)$ |
Z logaritmického dekrementu útlmu môžeme pre snímač druhého rádu vypočítať pomerný útlm $ξ$, ktorý je parametrom diferenciálnej rovnice.
| $\xi=\dfrac{\delta}{\sqrt{\left(2\pi\right)^{2}+\delta^{2}}}$ |
Dynamické charakteristiky snímačov vo frekvenčnej oblasti
Frekvencia vlastných kmitov
Frekvencia vlastných kmitov $f_k$, ktorá sa bežne nazýva kritická alebo rezonančná frekvencia, je frekvencia, ktorou kmitá systém sám osebe, bez pôsobenia vonkajších vplyvov. Uhlová kritická frekvencia sa rovná
| $ω_k = 2π f_k$ |
Prevrátená hodnota kritickej frekvencie sa rovná perióde vlastných kmitov
| $T_k =2π/ω_k$ |
Uhlová frekvencia netlmených kmitov
Uhlová frekvencia netlmených kmitov $ω_0$ je parameter vystupujúci v opisujúcej diferenciálnej rovnici prístroja druhého rádu a rovná sa vlastným kmitom systému bez tlmenia (ξ = 0).
Hraničná frekvencia
Hraničná frekvencia $f_h$ je frekvencia, pri ktorej hodnota pomeru amplitúdy výstupného a vstupného harmonického signálu prekročí určitú hranicu (napríklad 0,9; 0,85; 0,7). V elektrotechnike sa hraničná frekvencia definuje znížením amplitúdovej frekvenčnej charakteristiky o -3 dB. Pritom môže ísť o hornú hraničnú frekvenciu aj o dolnú hraničnú frekvenciu.
Obrazový prenos
Obrazový prenos $G(s)$ sa definuje ako pomer Laplaceovej transformácie výstupného signálu $Y(s)$ k Laplaceovej transformácii odpovedajúceho vstupného signálu $X(s)$ pri nulových počiatočných podmienkach
| $G(s) = \dfrac{Y(s)}{X(s)}$ |
Obrazový prenos sa podobne ako diferenciálna rovnica nedá stanoviť priamo experimentálne, získava sa z diferenciálnej rovnice alebo z ostatných úplných dynamických charakteristík príslušným prepočtom.
Frekvenčný prenos
Frekvenčný prenos $\dot{G}(jω)$ sa definuje ako obrazový prenos s hodnotou argumentu $s = jω$.
| $\dot{G}(jω)=\dfrac{\dot{Y}(jω)}{\dot{X}(jω)}=G(ω)\: e^{jφ(ω)}$ |
Frekvenčný prenos nie je priamo merateľný a stanovuje sa obdobne ako diferenciálna rovnica respektíve obrazový prenos.
Amplitúdová a fázová frekvenčná charakteristika
...
Logaritmická frekvenčná charakteristika je frekvenčná charakteristika vyjadrujúca závislosť pomeru amplitúd, resp. fázových posunov vstupného a výstupného signálu snímača od dekadického logaritmu frekvencie (ide teda o semilogaritmické závislosti). Niekedy sa používa logaritmická amplitúdová charakteristika, pričom pomer amplitúd sa udáva v decibeloch.
Amplitúdovo-fázová frekvenčná charakteristika
Amplitúdovo-fázová frekvenčná charakteristika je geometrické miesto bodov, ktorých vzdialenosť od počiatku je daná pomerom amplitúd výstupného a vstupného harmonického signálu a uhol sprievodiča s kladnou reálnou osou je daný hodnotou fázového posunu medzi výstupným a vstupným signálom. Môžeme ju stanoviť experimentálne, budením harmonickým signálom rôznej frekvencie a vynášaním pomeru amplitúd a fázového posunu medzi vstupným a výstupným signálom do polárneho diagramu.
Amplitúdovo-fázová frekvenčná charakteristika teda zhŕňa amplitúdovú frekvenčnú charakteristiku a fázovú frekvenčnú charakteristiku do jedného diagramu, pričom ich vzájomný prevod je evidentný. Môžeme ju stanoviť tiež z frekvenčného prenosu, jeho grafickým znázornením v komplexnej rovine.
<!-- aaa -->
- prečítané 8742x