Prenos zložitých systémov

Masonov vzťah


    Aj v sebaviac zložitej štruktúre systému, teda v jednoduchých aj v zložitých systémoch, sa dá výsledný prenos určiť priamo na základe teórie grafov pomocou Masonovho vzťahu:
$ G(s) = \dfrac{\sum P_i.\Delta_i} {\Delta} $, (1)
kde:
  • $ P_i $ je prenos $ i $-tej priamej cesty, pričom priama cesta je taká cesta spájajúca zvolený vstup so zvoleným výstupom systému, pre ktorú platí, že rešpektuje smer šírenia signálu a žiadnym bodom neprechádza dvakrát. Pre $ P_i $ platí, že jej prenos je daný súčinom prenosov členov, ktoré na tejto ceste ležia. V čitateli robíme súčet prenosov všetkých priamych ciest, každá je však ešte násobená svojim subdeterminantom.


Obr. 2.1 Príklady priamych ciest

    V príklade na obrázku (grafe signálových tokov) sú všetky tri cesty $ P_1 $, $ P_2 $ a $ P_3 $ priamymi cestami. Keď daná priama cesta prechádza súčtovým členom cez jeho mínusový segment, pribúda k jej prenosu aj znamienko mínus.

  • $ \Delta_i $ je subdeterminant $ i $-tej priamej cesty a určuje sa iba z tých slučiek, ktoré sa nedotýkajú i-tej priamej cesty. Platí preň, že znamienka v jednotlivých členoch za jednotkou alternujú, pričom prvé je znamienko mínus: $ \Delta_i =1-(\cdots) + (\cdots) - \cdots $; Subdeterminant je súčet prenosov slučiek tvorených rovnako ako pri determinante, no len zo slučiek, ktoré s príslušnou $ i $-tou priamou cestou nemajú spoločný prenosový blok ani súčtový člen (bod). Často je rovný jednej.
  • $ \Delta $ je determinant. Determinant je výraz, ktorý je určujúci pre vlastnosti systému. Determinant je rovnaký pre všetky prenosy daného systému bez ohľadu na to, kde je vstup alebo výstup systému, pretože polynóm vyjadruje dynamiku obvodu ako celku. Aj pri determinante platí, že znamienka v jednotlivých členoch za jednotkou alternujú, prvé je znamienko mínus: $ \Delta =1-(\cdots) + (\cdots) - \cdots $. Determinant je súčtom prenosov všetkých slučiek a ich nezávislých kombinácií. Prenos slučky je rovnako ako v prípade priamej cesty súčinom prenosov všetkých členov, ktoré v slučke ležia (pomocou ktorých je táto vytvorená), do prenosu slučky patrí aj znamienko väzby (v prípade cesty cez viacero súčtových členov výslednej väzby), ktorú táto vytvára.
        Determinant je rovný jednej, ak systém nemá žiadnu spätnú väzbu.
        Prvý člen po jednotke je prítomný vtedy, keď je v systéme spätná väzba; vo všeobecnosti je tento člen súčtom prenosov všetkých spätnoväzobných slučiek.
        Ďalší člen je prítomný, keď sú v systéme spätné väzby, ktoré sa navzájom nedotýkajú a člen je súčtom súčinov prenosov takých dvojíc slučiek, ktoré nemajú spoločný prenosový bod ani súčtový člen.
        Ďalší člen je súčtom súčinov prenosov takých trojíc slučiek, ktoré nemajú spoločný prenosový blok ani súčtový člen atď.

    Príklady slučiek spätných väzieb, ktoré sa navzájom nedotýkajú a spätných väzieb, ktoré sa dotýkajú, je znázornený na nasledujúcom obrázku č. 2.2:


Obr. 2.2 Príklad slučiek, ktoré sa navzájom nedotýkajú (vľavo) a slučiek, ktoré sa dotýkajú (vpravo)

    Pri výpočtoch sa rešpektuje smer šírenia signálu a je potrebné rešpektovať znamienka segmentov súčtových členov, cez ktoré signál slučky prechádza. Napríklad ak je v slučke jeden mínusový súčtový člen, výsledné znamienko je mínus, ak sú v slučke dva mínusové súčtové členy, výsledné znamienko je plus, pretože: $(-).(-)=+ $.
    Nech $ S_j $ je súčin všetkých prenosov, ktoré v $ j $-tej slučke ležia. Potom môžeme uviesť príklad podľa obrázku č. 2.3:


Obr. 2.3 Príklad spätnoväzobného systému

    Z obrázku č. 2.3 (signálového toku) je vidieť, že v systéme je jedna priama cesta $ P_1 $ a tri slučky $ S_1 $, $ S_2 $ a $ S_3 $. Pri určovaní determinantu postupujeme nasledovne: Slučky sa navzájom nedotýkajú a súčet týchto slučiek je $ S_1 + S_2 + S_3 $. Súčet súčinov dvojíc slučiek, ktoré sa nedotýkajú, je potom $ S_1.S_2 + S_2.S_3 +S_1.S_3 $. Súčet súčinov vzájomne sa nedotýkajúcich trojíc je $ S_1.S_2.S_3 $. Keď pridáme vyjadrenie subdeterminatu prvej a jedinej priamej cesty systému, v ktorom nie je slučka ktorá by sa tejto cesty nedotýkala (všetky sa jej dotýkajú), teda $ \Delta_1 =1$, prenos pre príklad znázornený na obrázku č.2.3 má výsledný tvar:
$ G(s) = \dfrac{P_1.1} {1-(S_1+S_2+S_3)+(S_1.S_2+S_2.S_3+S_1.S_3)-(S_1.S_2.S_3)} $. (2)
    Subdeterminant sa formálne určuje rovnako ako determinant, ale iba z tých slučiek, ktoré sa nedotýkajú $ i $-tej priamej cesty.

    Príklad slučky, ktorá sa dotýka priamej cesty a slučky, ktorá sa priamej cesty nedotýka, je na nasledujúcom obrázku:


Obr. 2.4 Príklad štruktúry systému v ktorom sa slučka dotýka priamej cesty (vľavo) a systému so slučkou, ktorá sa priamej cesty nedotýka (vpravo)


    Príklad:
    Pomocou Masonovho vzťahu napíšte prenos dynamického systému znázorneného na obrázku 2.5.


Obr. 2.5 Bloková schéma systému

    Prenosy priamych ciest sú:
$ G(s) = P_1 = G_1.G_2.G_3 $
$ P_2 = G_3.G_6 $		 (3)
    Prenosy spätnoväzobných slučiek sú:
$ S_1 = -G_1.G_2.G_4 $
$ S_2 = G_2.G_3.G_5 $		 (4)
    Potom výsledný prenos bude mať tvar:
$ G(s) = \dfrac{P_1.1+P_2.(1-S_1)} {1-(S_1+S_2)} $ (5)
a po dosadení prenosov priamych ciest a spätnoväzobných slučiek:
$ G(s) = \dfrac{G_1.G_2.G_3.1+G_3.G_6.(1+G_1.G_2.G_4)} {1+G_1.G_2.G_4-G_2.G_3.G_5} $. (6)
  • prečítané 4189x